こんにちは、Always Study管理人のぺんたとん(@pentatonn)です。

今回は”虚数の作り方”をメインに記事にしました。

少し高度な内容ですが、レベル的には中学数学がわかっていれば理解出来るようには書いているので、気になる方は続きをみてください。

数字の固定観念を捨てる

複素数といえば忌まわしき虚数がありますよね。二乗したらマイナス1になる恐ろしい数字です。その存在を疑う人もなかにはいるんじゃないですか?

ここでは、複素数をしっかりと定義したいと思います。高校数学みたいに\(x+iy\)とするんじゃないですよ。そもそも\(i\)の存在がわからないわけですからね。しっかりと実数だけを用いて複素数を定義していきます。

そのためにはまず数字の固定観念を捨ててもらいます。

数字とは何か?

まずは数字の固定観念を捨てるところから始めましょう。

数字というのは1とか2とか、そういった具体的なものでなくても良いのです。例えば、”りんご”という文字を数字としてみたって良いわけです。

例えば、"りんご1"という文字を数字の1とみなしてみましょう。"りんご2"は数字の2とみなし、同様に"りんご\(x\)"は数字の\(x\)とみなすことにしましょう。

すると、"りんご\(x\)"と\(x\)が一つ一つ洩れなく対応していますよね。つまり、\(x\)を数字として見ることと、"りんご\(x\)"を数字として見ることは何ら変わらないわけです。

ここでひとまず、"数字"という固定観念は消えましたか?

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ベクトルを数字とみなす

有理数とは整数\(n,m\)を用いてできる\(\frac{n}{m}\)のことを言います。二つの整数で有理数が出来るということは、二つの整数のペア\((n,m)\)を\(\frac{n}{m}\)とみなしてもいいですよね。

これと同じくして、ベクトルを数字としてみなすこともできます。

そもそもベクトルとは?

ベクトルとは何か?高校数学を勉強していない方はわからないかもしれませんが、簡単に言えば平面座標のことです。もしかすると高校数学では”ベクトルとは向きと大きさがをもつものである”と習っているかもしれませんが、今はどちらでも良いです。(正確にはどちらも違います)

ベクトルも座標も二つの実数\(a,b\)を用いて\((a,b)\)と表せます。厳密には違いますが、しっかりと考えると座標とベクトルは一緒だと見なせます。

話がそれましたが、ベクトルを数字とみなすということはどういうことかを説明していきますね。

数字とみなす方法

私たちはすでに実数を知っているとしましょう。そしてとりあえず、ベクトル\((x,0)\)を実数\(x\)と同一視しましょうか。”りんご1”と同じ議論で、一つ一つが漏れなく対応しているので、同一視はできますよね。

ひとまず、\((x,0)\)が実数だと考えられたのは良いとして、次のステップは\((x,y)\)を”数”だとみなすということです。\(y=0\)の時は\((x,0)\)となってこれは実数ですね。

つまり、\((x,y)\)の形をしている新たな”数”というのは、実数\((x,0)\)を含んでる、より大きな集合ということになります。

有理数の場合は\((n,m)=\frac{n}{m}\)で数字とみなしましたが、今から私達がやろうとしていることは\((x,y)=x+iy\)という数字を作ろうとしています。

ベクトルに演算を定義する

さて、実数\(x,y\)に対して無理矢理\((x,y)\)を数だと見たところまでは、ついてこれていますか?もう少しで終わるので我慢してください。

今回は数\((x,y)\)に対して、四則演算を定義してあげようと思います。

和の定義

新たな数\((x_1,y_1)\)と\((x_2,y_2)\)に対して、足し算を次のように定義します。

\((x_1,y_1)+(x_2,y_2):=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)

左辺は新しい数の足し算ですね。これを右辺で定義してあげてます。右辺のカッコの中身をよく見て見ると\(x_1+x_2\)と\(y_1+y_2\)が出てきていますね。これら自体は実数ですから、新たな数として\((x_1+x_2,y_1+y_2)\)を考えられますよね。

積の定義

次は掛け算の定義をします。少し異質ですが、積の定義はこれ。

\((x_1,y_1)*(x_2,y_2):=\)

\((x_1x_2-y_1y_2,y_1x_2+x_1y_2)\)

意味は特に考えないでくださいね。これを新しい数の掛け算と定義しただけなので。

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ベクトルを複素数とみなす

最後の大仕上げです。\((x,y)\)のことを、思い切って複素数と読んで見ましょう。勘が鋭い方はお気づきでしょうが、\((x,y)\)のことを我々は\(x+iy\)と表記します。

一番最初に、\((x,0)\)を実数と見立てたことを覚えていますか?足し算の定義を使えば\((x,y)\)は次のようにかけます。

$$(x,y)=(x,0)+(0,y)$$

\((x,0)\)は\(x\)と同一視していることを思い出せば

$$(x,y)=x+(0,y)$$

となります。ここで\((0,y)\)の正体を見ていきましょうか。そういえば、掛け算の定義はまだ使っていませんでしたね?せっかくなので、試しに\((0,y)\)を2乗して見ましょう。新しい数の掛け算の定義に当てはめてやると

$$(0,y)*(0,y)=(-y^2,0)$$

となります。右辺に関しては二つ目の成分が0なので実数と見なせますね。思い切って右辺を\(-y^2\)に直しちゃいましょう。

$$(0,y)*(0,y)=-y^2$$

何か気づきましたか?もうちょっとわかりやすく、\(y=1\)を代入して見ましょうか。

$$(0,1)*(0,1)=-1$$

おやおや?トドメに\(i:=(0,1)\)と定義しましょうか。すると上の式は次のようにかけます。

$$i^2=-1$$

はい。虚数、できました。さて、最後の仕上げです。\((y,0)\)をyと同一視して、\(i=(0,1)\)だったことを思い出せば、掛け算の定義を用いると

\(i*y=i*(y,0)\)
\(=(0,1)*(y,0)=(0,y)\)

が成り立つと言えます。よって\(i^2=-1\)となる数を用いて

$$(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+iy$$

が導けました。

まとめ

同一視を駆使してベクトルを無理やり新しい数だと考え、そこに新しい足し算と掛け算を定義したら虚数がたまたま見つかりました。同じ数をかけたのに-1になる数です。

虚数を作って、複素数も作りました。もう、虚数が存在しないなんて言わせない。

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