とんすけ
数学の記号って使いこなせたらかっこいいよね

みいすけ
時間も短縮できるし入試にももってこいやで

とんすけ
いくつか役に立つ数学記号教えて

みいすけ
じゃあ今回は整数の範囲で使われる数学記号教えるで

”約数・倍数・割り切る”の記号

倍数と記号の定義

\(n,m\) を自然数とする。\(n\)が\(m\) の倍数であるとは\(n=ml\)となる自然数\(l\)がある時をいう。\(n\)が\(m\)の倍数であるということを、\(m\)は\(n\)の約数であると言ったり、\(m\)は\(n\)を割り切るとも言う。

また\(m\)が\(n\)を割り切る時、記号を使って\(m|n\)と表す。

記号の”|”の使い方

\(a|b\)と書いた時\(a\)は\(b\)を割り切るという日本語訳となります。

1簡単な具体例

\(2\)は\(4\)を割り切るので \(2|4\)とかけます。\(4\)は\(8\)を割り切るので\(4|8\)も成り立ちます。もちろん\(2\)は\(8\)を割り切るので\(2|8\)も成り立ちます。

2推移律が使える

推移律とは簡単に言えば次のようなことです。

”AならばB。BならばC。よってAならばC”

さっきの例でいえば

"2は4を割り切り、4は8を割り切る。よって2は8を割り切る"

と言えるということです。

何が嬉しいの?

二つの表現

”\(a\)は\(b\)を割り切る”

”\(a|b\)”

を比べたときに、どちらが短時間で楽に書けるかを考えてみてください。そうすると記号を使って表記するメリットは明らかです。

\(a|b\)と書かれていれば、どちらが倍数かもすぐに識別できるので見通しも良くなります。

”割った余りが等しい”という記号

合同式の定義

\(M\)で割った余りを考える。\(n\)と\(m\)を\(M\)で割った余りがそれぞれ等しいとき$$n \equiv m (mod M)$$と書く。特に誤解の恐れが無い時は単純に\(n \equiv m\)と書く。

合同式の性質と使い方

合同式にはとても嬉しい性質が3つあります。足し算、引き算、掛け算がイコールと同じように使えるということです。

1足し算・引き算は自由

\(7\)で割った余りを考えてみます。\(a \equiv 5,\ b\equiv 6\)だったとしましょう。すると\(a+b \equiv 5+6\)が成り立ちます。

更に、\(5+6\)を\(7\)で割った余りは\(4\)ですから\(5+6 \equiv 4\)が言えます。つまり$$a+b\equiv 5+6 \equiv 4$$です。引き算に関しても同じことができます。

2掛け算も自由

\(4\)で割った余りを考えてみます。\(a \equiv 2,\ b\equiv 3\)だったとしましょう。すると\(ab \equiv 2\cdot 3\)が成り立ちます。

更に、\(2\cdot 3=6\)を\(4\)で割った余りは\(2\)ですから、\(2\cdot 3\equiv 2\)が言えます。つまり$$ab\equiv 2\cdot 3\equiv 6\equiv 2$$が言えるということです。

合同式の何が嬉しいの?

また\(4\)で割った余りを考えてみます。\(5^{100}\)を\(4\)で割った余りを考えたい時、合同式を使えば

$$5^{100}\equiv 1^{100}\equiv 1$$

となります。余りだけの計算をすればいいのでとても楽になります。

おわりに

今回は”割り切れる”と”割った余りが等しい”という二つの記号を紹介しました。どちらもすごく使いやすい記号なので、入試でも使ってみてください。時間が圧倒的に短縮されるかと思います。