こんにちは、Always Study管理人のぺんたとん(@pentatonn)です。

今回は”虚数が存在しない言い分”をメインに記事にしました。

虚数が存在しないと考えるのは都合が良すぎないか?そもそも数字とはなにか?

そういう事を徹底的に書き下しました。中学1年生でもわかるように書いているのでよかったら続きを見てください。

数字の分類

虚数\(i\)とは\(x^2=-1\)を満たす数のことを言う。

さて、こんな数xが本当に存在するんでしょうか?プラス*プラスもマイナス*マイナスも共にプラスになるので、こんな数字は現実には無い!って拒否反応を示す方もいるでしょうが、本当にそうでしょうか?

虚数が存在しないと頑なに主張する、いわば現代のピタゴラスの弟子達に、数字とは何なのかということをふまえて正確に説明したいと思います。

虚数の話をする前に、数字のいろんな分類について、まずは紹介します。

チェック

  • 自然数
  • 整数
  • 有理数
  • 無理数
  • 複素数

自然数

自然数とはペアノの公理で定義される集合の元のことを言う。

ペアノの公理

  1. 自然数 1 が存在する
  2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")
  3. 1 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)
  4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる
  5. 1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす(出典:Wikipedia)

厳密に書かれている公理と比べると、ここでのペアノ公理は具体的に書かれてはいるため想像はしやすいと思いますが、やはり難しいですね。一応紹介はしましたが、自然数とは1,2,3,...のことをさします。一番自然な数と覚えてください。

整数

整数とは整っている数のことです。自然数の次に整っている数と覚えましょう。整数は自然数と0によって定義されます。なんのことはない、...,-2,-1,0,1,2,...と続きます。

せっかくなので有理数も定義しておきましょうか。有理数とは整数\(a\neq 0,b\)を用いて\(\frac{b}{a}\)の形に表されるものを言います。\(\frac{2}{3}\)や\(\frac{-1}{15}\)なんかは有理数ですね。

最初の存在しない数は無理数だった

続いては無理数。実は無理数が一番定義に困る数だったりします。ピタゴラスの定理はご存知ですか?直角三角形の各辺の長さを\(a,b,c\)として、\(c\)が一番大きいものとすると

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

が成り立つと言うものです。

$$3^{2}+4^{2}=5^{2}$$

なんかはよく見ますよね。この式をピタゴラスが発見した当時、無理数という数字は"存在しませんでした"。つまり、一般に認められていませんでした。「数とは有理数のことである」がまかり通っていた時代です。

ピタゴラスの面白い逸話があります。世界は有理数で成り立っていると信じているピタゴラス教団の方達ですが、ある教団員が驚きの事実を発見してしまいました。各辺の長さが1である直角三角形に関してのピタゴラスの定理です。

$$1^{2}+1^{2}=c^{2}$$

つまり

$$c^{2}=2$$

とならなければいけないことを発見してしまいました。、有理数の秩序を乱したとして、この数字の発見者はピタゴラスの弟子達により処刑されてしまいました。

この式を満たす数字が存在するはずがない、認めない、ということです。

もうお分かりでしょうが、この数字を我々は\(\sqrt{2}\)と呼んでいます。"かつて存在しなかった数字"を我々は自然に受け入れてます。面白いことですね。

実際、私たちが有理数の世界に住んでいたのだとしたら、このような数字は存在しないわけです。有理数しか知らなければ

$$c^{2}=2$$

を満たす数字なんて見つけようがないのです。

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次の存在しない数は虚数でキマリ!

ところで虚数の定義はなんだったか覚えていますか?

虚数\(i\)とは\(x^2=-1\)を満たす数のことを言う。

無理数の場合とほぼ同じ問題だとは思いませんか?有理数の世界ではありえない式を、無理やり実数に拡張したことで、あり得ると考えた。でも実際に実数が存在するかどうかの議論をしたことはありますか?

虚数の存在は議論したことがあるのに、実数(無理数)の存在については言及すらしたことがないという人は、無理数は存在しないというピタゴラス達の苦悩を、まるきり無視していることになります。

そして、そういった、いわば現代のピタゴラスの弟子たちは、新たに直面した方程式

$$x^2=-1$$

を満たす数字などは無い!と主張するわけです。

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そもそも存在の定義は?

数が存在するかどうかの定義は何でしょうか?虚数が存在しないというには、3つの考え方があると思います。

チェック

  1. 数字なんてものは、概念を表すためのただの記号であって、そもそも存在なんてしない
  2. 現実世界を数学で記述する際に虚数は出現しないから、存在はしない
  3. 実数は存在する。けれども実数の2乗は正だから虚数は存在しない

主張1に関しては、数字そのものが存在しないと言われてしまえば、確かにそうですね。概念の上での存在でしかありませんからね。でもそれを言ってしまえば、目の前にりんごがあったとして、そのりんごは存在することになるんでしょうか?

主張2に関しては、私たちが認知できる世界だけが本当の世界なわけでは無いので、虚数が存在しないという理由としては弱いです。

主張3に関しては、論外です。主張3を支持する人だけには、私は断固として反対します。

負の数に文句は無いのか

あなたが自然数1,2,3,4,5...の世界の住人だと考えてください。自然数以外は知らないんです。その際、負の数とは何でしょうか?例えば\(-1\)とは何でしょうか?\(-1\)とは次の式で定義される数字\(x\)と言えます。

$$x+1=0$$

でも今、あなたは自然数の世界に住んでいるので、この方程式の解は見つかりません。虚数の存在と同じ構造です。

無理数は受け入れるのか

次に、あなたは有理数の世界に住んでいたとしましょう。有理数の世界は"体"と言われて、四則演算で閉じています。つまり、有理数の四則演算は有理数になるということです。ここまで完璧な世界に住んでいたとしたら、無理数の存在なんて考える余地はないですよね。

虚数だけかわいそう

虚数も同じです。あなたが実数の世界に住んでいたら、存在するはずのない数となるわけです。

もしあなたが、元々は自然数の世界の住人で、負の数も無理数も受け入れてきたのに、虚数だけを受け入れないというのなら、虚数へのイジメですよ。

実は無理数の構成が一番厄介

整数というのは自然数のペアで\((a,b)\)と見なせます。例えば\((2,0)\)は2、\((2,1)\)は1、\((2,2)\)は0。そして-1は\((2,3)\)。

有理数も整数のペアで考えられます。\((a,b)\)を\(\frac{a}{b}\)と見なすということです。

複素数は実数のペアとして考えられます。\((a,b)\)を\(a+ib\)と見なすということです。

唯一、この方法で拡張できないのは実は実数だったりします。有理数から実数を定義するとき、完備化という全く別の手法を用いないとなりません。なので実は、複素数よりも無理数の存在の方がギャップがある、と知って頂きたいのです。

まとめ

現代のピタゴラスの弟子たちは、虚数の存在を認めようとしない。彼らの前で虚数の話をするときは、身の危険を感じたらすぐに逃げましょう。歴史から学ぶことは大事ですからね。

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