こんにちは、Always Study管理人のぺんたとん(@pentatonn)です。

今回は”0.999...が1になる証明”をメインに記事にしました。

ある人にとっては直感的におかしいな式ですが、中学レベルの数学で理解できるように書いたのでよかったら見てください。

0.999...=1の証明

私が高校生の時に数学の先生が”\(0.999...=1\)”をいきなり黒板に書き始めました。高校3年生で無限の概念を数学的に初めて習うので、その面白さをここで少し紹介してみたいと思います。

小学生でも分かる証明

魔法の式変形をするので見ていてください。
$$\frac{1}{3}=0.3333333....$$
$$3*\frac{1}{3}=3*0.3333333....$$
$$1=0.9999999....$$

こうすれば小学生にもわかる、直感的にも正しい証明となります。これでは納得できませんか?それならちょっとだけ厳密にしましょうか。

高校生なら分かる証明

この問題の一番のポイントは”無限とはなにか”という部分だと思います。簡単に無限に9が続くと言っていますが、数学的にはどういうことなのかをはっきりさせる必要があります。

ここで言う”無限に続く”というのは極限の概念を使って表現できます。\(0.9\)という数字は\(1-10^{-1}\)のことです。\(0.99\)という数字は\(1-10^{-2}\)のことです。

さて、同じようにすれば"\(0\)の後に\(9\)が\(n\)回続く数字"は\(1-10^{-n}\)で表せます。\(n\)という数字が大きくなればなるほど\(10^{-n}=\frac{1}{10^n}\)は0に近づいていきます。だから、\(n\)が無限に大きくなれば、\(9\)は無限に続いていくので

$$0.999...=1$$

となるわけですね。\(n=\infty\)の時は\(10^{-\infty}=0\)と考えているということです。

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イプシロンデルタ的証明

イプシロンデルタとは数学で極限の定義をするときに使われる言葉です。大学の数学科では\(\epsilon-\delta\)論法なんて言って、ちょっと大げさな言い方がされています。

ここではその\(\epsilon-\delta\)論法の片鱗を味わっていただければと思います。

まず、\(1\)と\(0.9999...\)という数字を比べて見てください。一緒でないとするなら、どっちが大きいと思いますか?

もちろん\(1\)ですね。なので、もしこの二つの数字が一緒でないなら
$$0.999...<1$$ という不等式が成り立つはずです。 ここで\(1\)より小さい数字\(x\)をなんでもいいので取ってきましょうか。この時 $$1-x>0$$

となりますね。\(1-x>0\)ということは

$$1-x>0.0000...0001$$

となる数字\(0.0000...0001\)があるわけです。\(0\)が何個続くかはわかりませんが、有限個続くということだけははっきりとしています。移行して式変形をすると

$$1-0.0000...0001>x$$

となります。左辺は\(0.9999...9999\)なので、0.999...と無限に続く場合よりも小さいですね。よって

$$0.999...>0.9999...9999>x$$

が言えるわけです。思い出していただきたいのは\(x\)は\(1>x\)を満たす数字でした。つまり\(1>x\)であれば

$$0.999...>x$$

が導けたわけです。さて、もし仮に\(1>0.999...\)が成り立っていると仮定すれば、\(x\)として\(x=0.999...\)が取ってこれるわけですが。一方で

$$0.999...>x$$

が成り立っています。左辺は\(x\)の値そのものなので

$$x>x$$

という、世にも不思議な不等式が出現しました。これは矛盾です。したがって

$$1=0.999...$$

が成り立つわけです!パチパチパチパチ。

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まとめ

直感的な方法から厳密な方法で、\(0.999...=1\)となるいくつかの理由を見てきましたが、なんとなく理解はできましたか?

一見しておかしな現象に見えるのは、"無限"という概念が関連してるからです。無限の概念を使うと、たまに直感に反することが導けたりします。何事も定義が大事だというお話です。

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