数学でみる地震の規模マグニチュードって何？

2018年11月2日 6分27秒

ぺんたとん

[mathjax]北海道の皆さん、大丈夫ですか？大丈夫でしたか？

先日、平成最大とも言われる台風２１号が関西を直撃し、類を見ない被害をもたらしました。私は大阪市に住んでいるのですが、飛んできた木材に屋根を破られ雨水がダダ漏れで大変な状況に陥っていました。

一方その頃、台風は北上を続け、北海道にも被害をもたらしたかと思えば、その翌日北海道内陸でM6.7で震度７の内陸大地震がおきました。北海道に住む友人ははじめての体験でわたわたしていました。

そんなこんなで今回は、地震にまつわる内容、マグニチュードについて少しお話したいと思います。

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マグニチュードの定義

まずは地震のエネルギー、マグニチュードの関係性についての方程式の紹介をします。

地震が発するエネルギーの大きさを $E$ （単位：ジュール）、マグニチュードを $M$ とすると、次の関係がある。(出展:wikipedia)

$$\log_{10} E=4.8+1.5M$$

対数関数の定義

まずは対数関数を習っていない方にむけて、対数関数の定義と意味の説明です。

$$a^b=c$$が成り立つとき

$$\log_a c=b$$と書きます。ただそれだけです。日本語に訳せば、$\log_a c$の値はなにかと言われたときに、$a$を$c$にするためには$a$を何乗すればいいか？という数字が$b$ということになります。

北海道地震のエネルギー

今回おきた北海道内陸地震のマグニチュードはM6.7と報道されています。では、この地震がもつエネルギーとはどの程度のものなのでしょうか？

マグニチュードの定義によって計算してみると

$$\log_{10} E=4.8+1.5*6.7$$
$$\log_{10} E=14.85$$

対数の定義に当てはめれば、10をEにするためには14.85乗すればいいので

$$E=10^{14.85}=700000000000000$$

のエネルギーとなります。

700兆ジュールとわけがわからないエネルギー規模になってます。１ｋｇの２５度の水を沸騰させるのに３２万ジュールのエネルギーが必要なので、今回の地震のエネルギーは22億kgの水を沸騰させることができるほどのエネルギーということです。

琵琶湖にはがだいたい28兆kgの水があるので琵琶湖の1/1000が一気に沸騰するレベルの地震エネルギーということです。なんのこっちゃ。

マグニチュードが１あがると？

マグニチュードが１あがると地震のエネルギーはどれだけ増えるのかという問題が、過去に数学検定準１級の２次問題で出された記憶があります。数学が得意な方はトライしてみてください。

挑戦者のためにマグニチュードの定義をもう一度おさらいしておくと

$$\log_{10} E=4.8+1.5*M$$

です。答えは$10^{1.5}$のエネルギーが増える、です。ちなみにマグニチュードが２上がれば、地震のエネルギーは１０００倍になります。おそろしいいい。

我々に秘められたエネルギー

アインシュタインが導き出した有名な方程式

$$E=mc^2$$

というのをご存知ですか？これと絡めて、私達が本気を出せばマグニチュード９クラスのエネルギーがあるということを最後にお伝えできればと思います。

方程式の意味

$$E=mc^2$$

の意味について、簡単に説明します。質量$m$をもつ物体は、それ自体が莫大なエネルギー$mc^2$を持つ、というのが主張です。$c$というのは光の速度のことで、秒速30万キロメートルです。

ということは、６０ｋｇの質量がある人はこの方程式に当てはめて計算すると500京ジュールのエネルギーをもっています。マグニチュード6.7で700兆ジュールだったので、60kgの人が持つエネルギーはマグニチュード９クラスということです。

どうやってエネルギーを発揮するの？

６０ｋｇの質量の人が持つエネルギーが500京ジュールとわかったところで、そのエネルギーを引き出す何かがなければ何もおこりません。やる気スイッチか何かです。
でも、この莫大なエネルギーが私達の体に秘められているのだと考えれば、受験だって恋戦争だって何でも乗り越えられる気がします。なんたってマグニチュード９のエネルギーですからね！